回归教材 发展思维能力
潘强 李锋 福建省连江第一中学（350500）
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“课标”）提出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力。人们在学习数学和应用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现……”。那么，怎样才能有效提高学生的数学思维能力？众所周知，教材是一种丰富的课程资源，是课堂教学中师生互动的桥梁，同时也是学生开展思维活动、发展思维能力的主要载体。下面，笔者选取人教A版《数学选修2-1》（以下简称“教材”）中的具体例子，谈谈如何回归教材，落实“用教材教”，充分发展学生的思维能力。
1.重视章引言及课后拓展性材料的教学，创设情境激活学生思维
章引言是教材的一部分，是教材编写者精心设计。它置身于每一章的开头，以简明扼要的语言介绍本章的内容、地位及应用，以及蕴涵其中的思想方法与人文背景，体现本章知识的生长点与思维方法，是学生学习本章的开场白，作用不容忽视。一些拓展性材料如“观察与猜想”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等由于不在教材正文常常被忽视，笔者认为它们作为新教材特色之一是教材正文有益的补充与延伸，具有较强的灵活性与开发空间。
案例1 平面截圆锥
教材在章引言中介绍了圆锥曲线的来源——“平面截圆锥”，在“2.2.1 椭圆及其标准方程”课后的“探究与发现”栏目以“为什么截口曲线是椭圆”为题，介绍了数学家Germinal Dandelin从纯几何角度出发给出的证明，由此可见，教材对“平面截圆锥”的教学功能非常重视。以其为“源”引出概念，以其深刻背景为“垫”，统一了概念和名称，以其简捷漂亮的证明为“流”，疏通了概念。学生从中感受到圆锥曲线来源于现实生活，体会数学与生活的联系，欣赏圆锥曲线的一种和谐统一的美，经历了由具体实例观察发现、抽象概括出圆锥曲线以及猜想证明的思维历程。
教学中要有效利用这些素材创设有效情境激发学生思考与探索，要“挖”出隐藏于教材之中内涵丰富的思想，要利用每一个契机发展学生思维。明确椭圆生成方式之一——平面截圆锥，教材在数学家Germinal Dandelin的几何证明之后又提出一个问题：用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，你能仿照上述方法，证明所得到的截口曲线也是椭圆吗？
2008年高考浙江卷（理科）第10题：如图1，
AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得▲ABP面积为定值，则动点P的轨迹为（ ）
A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线
显然，命题者正是以平面截圆柱为背景来考查学生的思维能力，体现了高考“源于教材而高于教材”的命题思想。因此，平常教学中一定要回归教材，研究教材，渗透思想，发展思维。
2. 变式引领，开放探究，充分发挥教材例题与习题的教学功能
例题与习题都是经过教材编写者精挑细选的，它们可改造成为探究性问题的素材，对其进行“变式练习”是开发学生思维的有效方法。
案例2
如图2，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么，为什么？
利用定义学生容易得出点Q的轨迹是椭圆，倘若就此搁笔，无异于“入宝山而空返”，错失一个发展学生思维能力的好机会。笔者曾对该题进行了适度开发，充分挖掘蕴涵其中的教学功能。现简要摘录片段如下：
教师：若条件没有点A在圆O内的限制，点Q的轨迹是什么？
通过演示，学生发现：当点A在圆上，点Q与O重合；当点A在圆外，点Q“不翼而飞”，表明直线l与半径OP没有交点。如何改变题设的条件使得交点Q出现，其轨迹又是什么?(借助画板直观演示，最后学生共同归纳出以下情形，如图3)
学生：当点A在圆外时，直线l与OP所在的直径的交点的轨迹是以O、A为焦点的双曲线左支位于圆O内的部分；直线l与射线OP的交点的轨迹是以O、A为焦点的双曲线的左支；直线l与直线OP的交点的轨迹是以O、A为焦点的双曲线。
本例通过开放探究，开拓学生思维，用运动变化的观点揭示曲线的变化规律，训练学生观察、归纳、运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法，欣赏并体会其中蕴涵的数学美，提升思维品质。
案例3
如图4，设点A、B的坐标分别为(-5,0)、(5,0),直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9，求点M的轨迹方程。
教师：若直线AM、BM斜率之积为4/9，点M的轨迹方程如何？由此你发现了什么？
学生：方程为
。由此得到启发：分别过两定点的两相交直线若斜率之积为负（或正）常数，则交点的轨迹为除掉长轴两端点的椭圆（或除顶点的双曲线）。
设A(-m,0),B(m,0),M(x,y),
,则
。显然，当
且
时为椭圆；当k=-1为圆；当k>0为双曲线（均要除A、B两点）。
教师：如图5 ，椭圆
的两个顶点A1、A2,与y轴平行的直线交椭圆于点E和F，求直线A1F和A2E的交点M的轨迹方程。你能提出一个类似的问题吗？从中你发现了什么？
学生：点M的轨迹方程为
。如图6，若双曲线
的两个顶点A1、A2,与y轴平行的直线交双曲线于点E和F，求直线A1F
和A2E的交点M的轨迹方程，求得点M的轨迹方程为
。
教师：注意直线A1F和A2E的斜率……
学生：它们斜率之积为常数，前者为
,后者为
。
通过对例题的适当改编，进一步激活学生思维，并创设情境让学生“拾级而上”，知识的生成自然、水到渠成。学生经历从具体到一般的归纳思维，接受函数与方程、归纳类比、分类讨论、化归转化等数学思想方法的熏陶，体验了先猜想后证明的数学理性思维的本质。
上述案例2通过改变题设的条件引发学生进行开放探究，案例3通过对不同形式的特殊实例的研究中发现规律，并将其推广到一般的情形，以此扩大题目的训练功能。与其煞费苦心从大量泛乱的教辅材料中挑选，不如从贴近学生实际的教材中精选例题或习题，通过改变题目的设问方式、加强或削弱条件、在一定范围下将该题进行引申或推广等进行有意义的变式训练。实践证明，“变式练习”重复而不呆板，为学生思维能力的发展搭好了“脚手架”， 既夯实了双基，又提升了思维的品质。
3. 充分挖掘教材例、习题中蕴含的数学思想方法，发展数学思维能力
张奠宙教授提出：数学教师要具有数学思想方法的教学意识，掌握数学思想方法的内涵，将数学思想方法用于解题，发展学生的数学思维能力。因此，我们要以形成数学思想来统领日常的课堂教学，尤其是函数与方程、数形结合、分类讨论、化归转化思想。比如上述案例无一不渗透这四种重要的思想方法，在教师精心设计与合理引导下，通过变式引领，开放探究，发展学生的直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、推理证明等思维能力。“课标”把推理论证能力确定为一项基本能力，对推理论证能力的要求既包括原来的演绎推理，又包括归纳、类比猜想等合情推理。推理论证被认为是数学学科以及数学家实践的中心，是进行数学学习活动必备的首要的能力。因此教学中，要引导学生正确处理猜想与证明的关系，即不仅注重数学发现、创造过程中的合情推理——归纳与类比，而且将这种非形式化的探索式论证转化成有效的数学证明。比如截口曲线是椭圆的几何证明；案例3的代数证明等。这样，学生的思维不只是停留在感观的基础上，而是向深层次发展——继续探究问题的本质，用理性思维去验证所得的猜想。
4.充分利用教材进行审美意识的培养，体会数学的美学意义
圆锥曲线这部分内容，处处都有“美”的痕迹，值得大力开发，对学生进行审美意识的培养，提高审美能力。比如“平面截圆锥”体现圆锥曲线光滑美、动态美、统一与和谐美；圆锥曲线的定义具有统一美与数学语言美；圆锥曲线的方程蕴涵简洁美等等。本文几个案例的探究过程中，也处处体现出上述各种美，还有解题方法的简洁美以及所折射出数学思维的理性之美等，所有这些在教师精心设置的问题情境下，通过学生的亲身体验、用心感悟，培养其强烈的审美意识。同时对数学的美深刻的感悟，对数学的美学意义深切的体会，进一步提高学生学习的兴趣和探究数学问题本质的欲望。
案例4（教材改编）几何画板探索方程
所表示的曲线
当k变化时，曲线的形状变化如下：
图清晰地反映出k自小而大变化时，图象由双曲线演变成椭圆的过程，蕴涵了深刻的数学美，一个含参数的方程式通过“k”的变化从图象上非常生动地表现出曲线的变化规律（将两条双曲线逐渐拉直成为两条直线，让它们在无穷远处接上头，再进行收缩，成为椭圆），揭示出美的本质，同时学生通过自我实践，自我发现获得对美的认识，形成了美的观念，且在欣赏中得到愉快的情感体验。
现行教材精雕细琢，集百家之长于一身。我们也应以课标为标，以教材为本，合理利用与适宜开发教材资源，开展探究活动，发展学生的数学思维能力。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.
[2]李锋.活用类比 放飞思维——关于《类比推理》的教学与思考[J].福建中学数学，2015（6）
[3]李锋.回归概念本质 发展双基教育——一道教科书习题的探究性教学与反思[J].中学数学教学参考（上旬），2010（4）
[4]方勤华.教好数学的一个重要视角[J]. 数学通报, 2010（1）